まだまだ 日記つけてみるテスト

突然ですが、「黄金分割」をご存じですか？
総計の皆さん、日程分割の手法である「黄金分割法」のことではないですよ。

ちなみに「黄金分割法」の由来は、
穴を埋めてから日程分割 → AU(Ana wo Umete kara)分割 → (元素記号Auが金であることから)黄金分割
懐かしいですね。

それでは、下の図を見てください。


図のように辺AB上に点Cがあり、
(AC + CB):AC=AC:CB (つまり AB:AC=AC:CB)
が成り立つとき、「点Cは辺ABを黄金分割している」と言います。

このときの比AC:CBは黄金比と呼ばれ、最も美しい比であると言われています。

さて、Wikipediaの黄金比のページには、

幾何学的には黄金比は正五角形の中にみることができる。正五角形に対角線を引くと、その線分は互いに黄金比に分割する関係を取る。

とあります。


要するに、下図のような正五角形があったとすると、AB:AC=AC:CBが成立しているということです。


ホンマかいな？ということで、これを証明してみたいと思います。
(興味のある方は、ぜひチャレンジしてみてください)

※予想より、はるかに長くなってしまった・・・覚悟して読んでね

まずは、この図形の角度やらなんやらを求めていきます。

元となっている図形は正五角形なので、
∠ADB=∠DBE=108°
と言えます。

また、三角形ABDと三角形BDEはそれぞれAD=BD、BD=BEである二等辺三角形なので、
∠ABD=∠BAD、∠BDE=∠BED
となります。

「三角形の内角の和は180°」であることから、
∠ABD=∠BAD=(180°-∠ADB)/2=(180°-108°)/2=36°

同様に、
∠BDE=∠BED=(180°-∠DBE)/2=(180°-108°)/2=36°
です。

次に、三角形BCDに注目します。

先ほど求めた角度から
∠CBD(=∠ABD)=∠BDC(=∠BDE)=36°
なので、三角形BCDはBC=CDである二等辺三角形であることが分かります。

さらに、三角形の内角の和より
∠BCD=180°-(∠CBD+∠BDC)=180°-(36°+36°)=108°
が求まります。

続いて、三角形ACDについて考えます。

辺ABは直線なので、
∠ACD+∠BCD=180°
が成り立ちます。

上で∠BCD=108°だったので、
∠ACD=180°-∠BCD=180°-108°=72°
となります。

まだ∠ADCが分かっていませんが、∠ACD=72°、∠CAD(=∠BAD)=36°、そして三角形の内角の和から
∠ADC=180°-(∠ACD+∠CAD)=180°-(72°+36°)=72°
です。

これより∠ACD=∠ADC=72°なので、三角形ACDはAC=ADの二等辺三角形であることが分かりました。

ここまでをまとめると、下図のようになります。


(疲れ始めてきたかもしれませんが、まだまだ続くよ～)

さて、ここで正五角形の一辺の長さを1とすると、AC=ADより
AC=AD=1
となります。

今回は「点Cが本当に辺ABを黄金分割しているのか？」を明らかにしようとしています。
このためには、AB:AC=AC:BCが成立していることを示せば良いわけです。

AB:AC=AC:BCであるとき、

が成立します。

先ほど決めたAC=AD=1をこのに代入すると、

となります。

また、BC=AB-ACなので、AC=1より
BC=AB-1
です。

これをに代入してやると、

となり、この式が成り立っていることを示せば、「点Cは本当に辺ABを黄金分割している！」と言えるわけです。

これを示すためには、辺ABの長さを求める必要がありそうです。
なので、これより辺ABについて考えていきたいと思います。

点Dから辺ABに向かって垂線を降ろし、交わった点を点Fとします。


このとき、直角三角形の性質から、
AF=AD cos(36°)
が成り立ちます。

ここで、AD=1だったので、
AF=cos(36°)
となります。

同様にして、辺BFについても
BF=cos(36°)
と言えます。

つまり、
AB=AF+BF=cos(36°)+cos(36°)=2cos(36°)
となるわけです。

はて、ここで困ったぞと。
cos(36°)って、いったいどんな値になるの？

高校までの知識では、
・cos(0°)=1
・cos(30°)=√3/2
・cos(45°)=1/√2(=√2/2)
・cos(60°)=1/2
・cos(90°)=0
くらいしか分からん・・・。

しばらく悩んだ後、

なので、5倍角の公式を求めてみるかと考えるに至りました。

5倍角の公式とは、「sin5θやcos5θをsinθやcosθで表現すると〇〇になる」というものです。

ちなみに2倍角の公式は、


となります。

なんだか、見たことある気がしませんか？

5倍角の公式を求めるためには、三角関数の加法定理である


を用います。

こいつらを使ってゴニョゴニョやると、

を得ることができます。

次に考えなければならないのは、「求めたこの式に何を入れてやると良いか？」ということです。

試しにθ=36°としてみると、5θ=36°×5=180°なので、

となります。(cos(180°)=-1より)

うーん、これはなんだか微妙・・・。

やっぱり、cos5θ=0となってくれた方が、嬉しい気がする。
そんなわけで、すでに知っているcos(90°)=0を活かし、5θ=90°、つまりθ=18°とすることに。

θ=18°を5倍角の公式に代入すると、

が得られます。

ここからちょっと込み入った話になるのですが、
・余弦関数 cos x は、0 < x < π[←パイ]において狭義単調減少関数である(0 < x < π[←パイ]では、xが大きいほどcos xが小さくなる)こと
・0° < 18° < 90°であること
の2点から、
0 < cos(18°) < 1
を導くことができます。

これより、cos(18°)≠0なので、先ほど出てきたの両辺をcos(18°)で割っても問題ないと言えます。

両辺をcos(18°)で割ると、

です。

(なんとなく、もうちょっとで解けそうな気がする！)

得られた式をじーっと見ていると、とすれば

となることに気が付きました。

これは、の形をしているため、解の公式である

を用いて解くことができます。

もっとよくよく見ると、となっているので、さらに簡単な

を適用可能です。

この公式に当てはめると、a=16、b=-10、c=5から

とすることができます。

よって、

となります。

ここで、0° < 18° < 30° < 90°のため、
0(=cos(90°)) < cos(30°) < cos(18°) < 1(=cos(0°))
であると言えます。

前述の通り、
0 < x < π[←パイ]ではxが大きいほどcos xが小さくなる
からです。

これをそれぞれ2乗すると、

となります。

より具体的な値を計算すると、

です。

について、プラスの場合とマイナスの場合の値を求めると


という結果が得られます。

2つのうち、の条件に当てはまるのはプラスのものだけなので、

となります。

こうしてやっと、について値を得ることができました。
しかし、欲しいのは2cos(36°)の値です。

ここで、2倍角の公式である

を思い出します。

θ=18°としてやれば、左辺はcos(36°)！

早速代入してやると、

となりました。(を利用)

よって、

となるわけです。

これより、やっと

と、辺ABの長さを求めることができました。

さて、そろそろ最後の仕上げです。

ついにを示します。
右辺を計算していって、左辺と等しくなればOKです。

計算は以下の通り。


以上から、

となることが分かりました。

これにより、「点Cは辺ABを黄金分割している」ということが証明できました。
やった！

ああ、長かった。
お疲れ様でした。

もっとラクな解き方思い付いたら、ぜひ教えてください。

あと、どっか間違ってたら、ご指摘お願いします。
まあ、わざわざ確かめる人もおらんやろうけどw